💅 大学の機械力学では多体系にはラグランジュの運動方程式を使うしかないような教え方になっていますが（少なくとも私の卒業した大学では）、2自由度、3自由度と増えていくと、微分や運動エネルギーが手計算では結構しんどいです。 だから時間を含むラグランジアンなど考える必要は全くない。 両者の差異は流体の運動の記述のしかたの違いにより，前者では流体の微小部分の運動を追究し，また後者では各瞬間における流体各点での速度，圧力，密度の値，すなわちこれらの量の場を求める。
14現実の系では、例えば、2個の質点はロープで繋がっていて距離は一定になっているとか、ある質点は特定の溝に沿って運動しなければ ならないとか、様々な条件の中で動きます。 というのは、この左辺を、恒等式に置き換えたものがラグランジュ方程式だからである。
合わせて読みたい 算出した運動方程式から状態方程式を求める方法を紹介します。
💙 ここで、• ローレンツ力ではダメなんだがそのへんはまたおいおい考える。 束縛条件と束縛力 質点の座標の自由度を下げる働きをする「束縛」をもう少し深堀してみましょう。 個のホロノーム型 後述 束縛条件が存在すると、自由度は 個に減少します。
18質点にかかる力 を2つの力 に分けて式 6 のように書き直します。
7 式に隠されたもっと上の何かを見つけていこう。
👐 解析力学をやる上で欠かせないだ。 詳しくはを参考にしてください。 つまり、仮想変位 は3N次元空間の超曲面 に垂直な多次元ベクトル成分を含みませんから、質点に加わる力のうち、超曲面 に垂直な方向 広義の法線ベクトル を基底とする部分空間のベクトル方向の力は仕事をしません。
13この式をラグランジュ方程式という。
本来ラグランジュの運動方程式自体は作用が「最小」となることを保証しない。
✍ ラグランジュ方程式とは何かというものを知りたければそこだけ読めばよい。 しかし、解析力学では、束縛力を直接扱わずに式を立てられるため、運動方程式が非常に単純化されます。
5これを束縛条件といいます。 一般的な説明の仕方ですが、それなりに教科書には書いてないことを加えたつもりなので、多少はお役に立てるかもしれません。
というか、ニュートン力学のみならず、電磁気学や特殊・一般相対論も「最小作用の原理」の枠組みで記述可能であり、また初等量子力学から最新の量子力学にいたるまでラグランジアンや以下で出てくるハミルトニアンを用いて記述されるなど、大学以降の物理学において「最小作用の原理」は中心的な役割を果たす。
❤ どう考えても 1 の運動方程式のほうが直感的にわかりやすいし、 13 や 14 は数学上の産物にしか思えない。
19この式を特に ラグランジュの運動方程式と呼ぶこともある。 7 式に隠されたもっと上の何かを見つけていこう。
この運動方程式を、前回求めた運動エネルギーと位置エネルギーからラグランジュ方程式を用いて実際に算出していきます。
🖖 一般座標というのは、直交座標を含めた任意の座標という意味である。 一般化座標 系はN個の質点からできているとします。 この式はラグランジュ方程式として最もポピュラーな形である。
13おっしゃる通り、ラグランジュの方法はシステマチックで、淡々と進めれば運動方程式が出てきます。
え、そんな話は聞いたことがないんだけど、と思うだろうけど実際こういう原理が存在するのだから仕方がない。