エルミート 行列。 随伴行列

固有値問題を解くには適当な基底に対する表現を使うと便利だが、 最終的に固有ベクトルを答えるときには元の線形空間の要素に直さなければならない。 性質 [ ]• 以前に運動量表示について詳しく説明しておいたのはこのための伏線である. これらはそれぞれ ,運動量 を持つことが確定した状態であるとする. エルミート行列 の固有ベクトルから二つを選んで , , とする. エルミート行列 の固有値は全て必ず実数であり ,ユニタリ行列 をうまく選べば必ず対角化できる. しかし今や抽象的思考の段階へと飛び立つことになったのだから ,具体的なイメージを超えて少しだけ拡張してみよう. ある状態にはある運動量が対応し ,別の状態には別の運動量が対応している. とくに、エルミート行列の固有値がすべて正、非負、負、非正に従い、それぞれ、正値、半正値、負値、半負値エルミート行列という。

• 別な一般化の仕方もある。

どのような基底を取って計算しても、元の空間に戻した際の答えは変わらない。 ・正規行列である がある ・要素が実数のみであるとき対称行列となる ・はすべて実数である ・異なるのは直交する ではそもそもエルミート行列は、何の役に立つのだろうか？ 実は数学の世界というよりも物理の世界で大いに役に立つ。

• 実対称行列 の固有値は全て必ず実数であり ,直交行列 をうまく選べば必ず対角化できる. 実エルミート行列は対称行列（主対角線に関して対称な位置にある二つの要素がそれぞれ等しい行列）にほかならない。

エルミート行列の名はに因む。 以前に運動量表示について詳しく説明しておいたのはこのための伏線である. キーワード：エルミート行列、自己随伴行列、、シャルル・エルミート エルミート行列とは何か？と言った時に次のように説明できる。

• 理解しやすいように ,それらのベクトルを のように基本ベクトルで表すことにしよう. ＊実エルミート行列はエルミート行列であり,かつ成分が全て実数の行列ですが, 成分が全て実数なので複素共役をとっても変わらないことから対称行列です。

固有ベクトル 行列には「 固有ベクトル」というものが存在する. 「がエルミートである」とは、要するに、「 測定値は実数である」ということを言っているだけなのだ。 ならば ,元のベクトルと変化後のベクトルとの関係をベクトル変換のようなものであると考えてはどうだろうか ？ベクトルの変換は行列を使って表すことが出来る. エルミート行列はの基本方程式 方程式 と密接な関係を持っている。

• さて , 1 式の両辺に左から を掛け , 3 式の両辺には右から を掛けるとどうなるだろう ？ 左辺は区別がなくなった. エルミート行列の性質 次のような条件を満たす行列 を「 エルミート行列」と呼ぶ. つまり ,行列の固有値を物理量に対応させて理論を構築してやればいいわけだ. それでも重解になることはあり得るので確実に言えることと言ったら「少なくとも必ず一つは固有値を持つ」くらいであろう. つまり ,元のベクトル が定数倍されれば変換後のベクトルも同じだけ定数倍されるし ,別のベクトルとの和を取ったベクトルを変換すれば ,それぞれを別々に変換したものの和を取ったものと等しくなるという ,実に厳しい制限付きの変換である. 転置行列と随伴行列 まず転置行列,随伴行列の復習です。

２個なのは元の行列が２次の正方行列であったためだ。 君が実際に目の当たりにする物理現象は、必ず実数の姿で現れるんだ」 実際のところ、私は学生時代にの実験を数え切れない程行ったが、 実験に使っていたパルスカウンタやがを表示したことは残念ながら（？）一度もなかった。

• において i,j -を i,j -成分に持つ行列、またはその転置行列をと呼ぶが、後者を 随伴行列 adjugate matrix あるいは 古典随伴行列 classical adjoint と呼んで、前者を余因子行列 cofactor matrix と呼びわける場合もある。

したがってまた、二つのエルミート共軛のは歪エルミートになる。

• 実対称行列はエルミート行列の特別の場合である。